Le GPS - Global Positioning System

Le GPS est devenu un outil de mesures classique en topographie. Il s’agit d’un système de  localisation et navigation par satellites. Il fournit à un utilisateur, fixe ou en mouvement, partout dans le  monde,  une  position  absolue  dans  un  système  de  référence  mondial  (WGS84),  une  vitesse  et  une  information  de  temps.  Ce  positionnement  s’effectue  de  plusieurs  manières :  il  peut  être  absolu  (utilisation d’un seul récepteur) ou différentiel (deux récepteurs sont alors utilisés), il peut être statique  (le ou les récepteurs sont alors fixes) ou encore dynamique (le ou les récepteurs sont mobiles). Pour  toutes ces configurations, la solution peut être ob tenue en temps réel ou en temps différé. 
Pour  notre  cas  d’étude,  nous  utilisons  le  mode  cinématique  différé  avec  une  initialisation  statique. Les récepteurs utilisés seront de type bifréquences et les antennes de types Choke Ring.
Le GPS permet aisément de surveiller un point isolé d’un ouvrage sans souci d’intervisibilité 
avec  d’éventuelles  autres  stations.  De  plus,  il  s’agit  d’un  système  simple  d’utilisation.  Néanmoins,  il  possède également des inconvénients. L’utilisateurest dépendant du nombre de satellites visibles au  moment de l’observation et de leur géométrie. Le signal GPS peut être interrompu par la présence de  masques et peut être affecté par le multi-trajet. L es actuelles fréquences d’acquisition GPS, bien que  de plus en plus élevées (actuellement limitée à 10HZ), ne permettent pas de déterminer la dynamique  des ouvrages.

2.    Etude des instruments

Le  filtre  de  Kalman  est  le  filtre  adaptatif  que  nous  allons  utiliser.  Il  s’agit  d’un  estimateur  procédant  à  l’extraction  de  l’information  utile  d’un  signal  bruité.  Pour  cela,  il  s’appuie  sur  deux  équations : la première modélise, de manière dynamique, le fonctionnement du système alors que la  seconde prend en compte les mesures du système. La phase de modélisation nécessite le maximum  d’informations concernant le GPS et l’accéléromètre, notamment sur les bruits les affectant. L’étude  de   mon   prédécesseur   a   mis   en   exergue   deux   points :  d’une   part   la   détermination   de   loi   de  comportement suivant la température du bruit faisant dériver les positions, une fois les accélérations  intégrées et d’autre part la nécessité de maîtriser, au mieux, le traitement GPS.
Il donc nécessaire d’étudier, de près, chacun des instruments.

L’accéléromètre

L’accéléromètre  est  un  appareil  permettant  l’obtention  des  accélérations  avec  une  grande  précision  et  à  une  fréquence  d’échantillonnage  élevée.  Il  est  très  pratique  car  peu  encombrant.  De  plus, le signal accélérométrique est ininterrompu.Afin de mieux caractériser le signal en sortie de ce  capteur, un calibrage a été effectué. A l’issue duquel les erreurs du capteur ont été modélisées.  L’accélération peut alors mise sous la forme suivante :
Cela   signifie   que   l’accélération   mesurée   à   la   sortie   d’un   accéléromètre   correspond   à  l’accélération en entrée du capteur à laquelle il faut ajouter un terme dû au biais et un terme qui se rait  la conséquence du bruit.

L’intégration puis la double intégration de cette formule précédente nous permet d’écrire :

              où    v  représente la vitesse
sortie      entrée       0
 et p la position
Le biais joue un rôle important en causant une dérive dans la vitesse puis dans la position. 
L’erreur  augmente  quadratiquement  dans  le  temps.  Un  biais  de  l’ordre  d’un  1mg  non  corrigé  sur  l’accélération,  pendant  un  trajet  d’une  heure,  induit  une  erreur  de  64  km  sur  le  positionnement,  en  supposant la vitesse initiale nulle.

Le GPS

Le  GPS  bien  que  performant  est  affecté  par  de  nombreuses  erreurs.  Ces  erreurs  sont  connues mais sont difficiles à éliminer car peu modélisables comme l’erreur troposphérique. Pourtant,  la  prise en compte de ces erreurs joue  un rôle important dans  la  détermination finale des positions  calculées. D’ailleurs, les logiciels de traitement GPS diffèrent les uns des autres par leur paramétrage  et leur aptitude à appréhender au mieux ces erreurs. 
Afin de pallier le plus grand nombre d’erreurs, nous avons donc opté pour le logiciel Bernese,  logiciel scientifique développé par l’université de Berne (Suisse), pour effectuer les calculs en mode  statique  sur  de  longues  lignes  de  base.  Ce  logiciel  a  principalement  pour  avantage  de  ne  pas  se  comporter   en   « boîte   noire »,   l’utilisateur   a   donc  une   plus   grande   maîtrise   de   son   calcul.  Contrairement   aux   logiciels   commerciaux,   Bernese   offre   la   possibilité   d’intégrer   de   nombreux  paramètres   dans   les   calculs,   ce   qui   permet   de   modéliser   certaines   erreurs   (horloge,   orbite,  atmosphère…) et d’en minimiser les effets. Par contre, lorsqu’il s’agira de la détermination d’un point  mobile,  en  mode  cinématique  donc,  sur  de  courtes  lignes  de  base  le  calcul  s’effectuera  sur  un  logiciel commercial, du type Ski-Pro de Leica. L’emploi d’un logiciel constructeur pour le calcul de la  trajectographie  s’avère  être  un  bon  compromis  entre  le  temps  de  traitement  et  la  précision  des  résultats obtenus. En effet, pour le traitement de courtes lignes de base, les erreurs atmosphériques  influant sur le signal GPS sont moindres. De plus, les principaux facteurs d’incertitudes sont la stabilité  du pivot, les trajets multiples et les masques.

Conclusion

L’étude   des   instruments   nous   a   permis   de   constater   la   complémentarité   de   leurs  caractéristiques. L’accéléromètre est un système délivrant des informations précises à court terme. Le  GPS peut permettre de recaler les données accélérométriques toutes les 0.1s afin de limiter la dérive  et de corriger les vitesses et positions obtenues après intégration. Il devrait donc borner l’erreur à long  terme de l’accéléromètre tandis que ce dernier fournit des  accélérations et par  post- traitement des  positions entre deux acquisitions GPS. La combinaison simple des deux types de données a été testée  et s’est révélé non exploitable. 
L’élaboration  d’un  filtre  adaptatif  dans  le  but  de  coupler  les  types  de  données  est  donc  pertinente.  
3.    Le filtre de Kalman
Le filtre de Kalman, du nom de son créateur Rudolph E. Kalman, mathématicien américain né  en 1930, a été présenté en 1960. Il s’agit d’un estimateur récursif de processus aléatoires. Il permet  l’estimation  de  variables  d’état  d’un  système  (position/vitesse,  par  exemple,  pour  des  systèmes  mécaniques ou encore tension/intensité, par exemple, pour des systèmes électriques…) en utilisant  un modèle de comportement a priori du système et des mesures réelles.  Son appellation «  filtre »  vient du fait qu’il permet, entre autre, d’estimer un signal bruité, en séparant le signal de son bruit. Ce  filtre est utilisé en trajectographie pour estimer une trajectoire, en navigation pour localiser un engin,  ou  encore  en  balistique  pour  estimer  des  conditions  initiales  inconnues.  Il  est  également  employé  lorsque  l’on  veut  coupler  des  informations  venant  de  sources  différentes  afin  de  retrouver,  par  exemple,  une  trajectoire.  Dans  notre  cas,  le  filtre  de  Kalman  va  nous  permettre  de  connaître  le  déplacement d’ouvrages d’art en intégrant des données GPS et des données accélérométriques.
Le filtre repose sur une boucle de correction-prédiction, celle-ci s’appuyant sur un système de  deux équations : la première modélise de manière  dynamique l’accéléromètre alors que  la seconde  permet  d’intégrer  les  mesures.  D’où   l’intérêt  de   modéliser  les  erreurs  de  l’accéléromètre  pour  permettre de mettre en place la première équation et la nécessité d’améliorer le traitement GPS afin  d’intégrer des mesures de bonne qualité dans la seconde équation.
La première étape du processus réalisé par le filtre de Kalman est l’étape de prédiction : elle  s’appuie sur le modèle dynamique. Elle consiste à projeter en avant les évaluations des inconnues et  leur  matrice  de  covariance  afin  d’obtenir  des  valeurs  a  priori.  La  seconde  étape  est  celle  de  correction :  la  valeur  «prédite»  est  corrigée  à  l’a ide  du  gain  de  Kalman  et  de  l’innovation  qui  correspond  à  l’écart  entre  la  mesure  et  la  valeur  prédite.  Celle-ci  permet,  en  fait,  d’incorporer  des mesures  lorsqu’elles  sont  disponibles  dans  l’estimation  a  priori    pour  obtenir  une  estimation  a  posteriori.
Afin d’appliquer cette théorie à notre cas, plusieurs étapes ont été suivies :
Tout  d’abord,  nous  avons  déterminé  les  variables  d’état  que  nous  voulions  estimer.  Il  s’agit  donc de la vitesse, de la position et du bruit accélérométrique.
Ensuite,  il  s’agissait  de  modéliser  le  bruit  responsable  de  la  dérive  de  l’accéléromètre,  le« biais ».
Puis,  un  algorithme  dit  « de  mécanisation »  permet tant  l’obtention  de  la  vitesse  et  de  la  position après correction du biais accélérométrique a également été établi.
Enfin, nous avons déterminé les équations du filtre.
Afin d’y parvenir, nous avons modélisé le systèmeaccélérométrique de manière mécanique. Il  s’agissait d’établir l’équation différentielle liant l’accélération, la vitesse et la position d’un point. Pour  cela,  nous  avons  appliqué  le  principe  fondamental  de  la  dynamique  et  effectué  de  nombreux  changements   de   repères.   A   l’issue   de   cette   phase,   l’équation   du   processus   a   donc   pu   être  déterminée. De plus, s’agissant d’un filtre adaptatif, il a fallu intégrer les données du système d’aide  que constitue le GPS. Ainsi, l’équation de mesure du filtre a été déterminée.
A  l’issue  de  ces  étapes,  les  positions  calculées  au  préalable  à  l’aide  d’un  logiciel  de  calcul  GPS   pourront   être   directement   injectées   dans   le   fil tre   ainsi   que   les   positions   et   vitesses   accélérométriques calculées à l’aide d’un algorithme de mécanisation. L’observation fournie au filtre  correspondra à la différence entre les deux solutions. 
La  correction  de  l’accéléromètre  sera  effectuée  àl’aide  de  la  boucle  de  retour.  Ainsi,  cette  disposition   nous   permettra   de   modéliser   les   erreurs   de   l’accéléromètre   et   d’intégrer,   au   sens  mathématique, les accélérations de manière dynamique, afin d’en diminuer la dérive.